Question

18．已知角A，B，C分别为△ABC的三个内角，且$sinA=\frac{5}{13}，cosB=\frac{3}{5}$，
（1）求$sin（2B+\frac{π}{3}）$的值；
（2）求sinC．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinB的值，再利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，从而求得$sin（2B+\frac{π}{3}）$的值．
（2）由条件求得cosA 的值，再利用sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，计算求的结果．

解答 解：（1）由于角A，B，C分别为△ABC的三个内角，且$sinA=\frac{5}{13}，cosB=\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，∴sin2B=2sinBcosB=$\frac{24}{25}$，cos2B=cos²B-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2B+$\frac{π}{3}$）=sin2Bcos$\frac{π}{3}$+cos2Bsin$\frac{π}{3}$=$\frac{24}{25}×\frac{1}{2}$-$\frac{7}{25}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{48-7\sqrt{3}}{50}$．
（2）由（1）可得sinA＜sinB，故A不是最大角，故A为锐角，故cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．