Question

（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）

设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．

 (Ⅰ)求及数列的通项公式；

 (Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

（Ⅲ）令（），求证：

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ,,,

(Ⅱ) =2010

（Ⅲ）

【解析】解：（1）因为点在函数的图象上，

故，所以．令，得，所以；

令，得， ；令，得，．

由此猜想：．

用数学归纳法证明如下：

① 当时，有上面的求解知，猜想成立．

② 假设时猜想成立，即成立，

则当时，注意到，

故，．

两式相减，得，所以．

由归纳假设得，，故．

这说明时，猜想也成立．

由①②知，对一切，成立 ． …………………………………………4分

另解：因为点在函数的图象上，

故，所以    ①．令，得，所以；

时    ②

时①－②得

令，

即与比较可得

，解得．

因此

又，所以，从而． …………4分

（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，  故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010. ………………9分

（3）有（1）中知，∴，

   当时，；

  当时，

     显然

   而（）

 

         。…………………14分