Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋m)在定义域内连续．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值；

(Ⅱ)当m为何值时f(x)≥0恒成立？

(Ⅲ)给出定理：若函数g(x)在[a，b]上连续，并具有单调性，且满足g(a)与g(b)异号，则方程g(x)＝0在[a,b]内有唯一实根．试用上述定理证明：当且m＞1时，方程f(x)＝0，在[1－m，e^m－m]内有唯一实根(e为自然对数的底数)．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)．，　　　　　　　　　　　　2分

　　令得，

　　时，；

　　当，

　　内是减函数，在内是增函数，，

　　函数有极小值．　　　　　　　　　　　　5分;

　　(Ⅱ)．由(Ⅰ)知，在定义域内只有一个极小值点，所以

　　的最小值为，从而当时，既实数的取值范围为时，不等式恒成立．　　　　　　　　9分;

　　(Ⅲ)，∴又

　　＝，

　　，

　　，

　　∴．因此，根据问题中所给的定理，

　　方程内有唯一实根．　　　　　　　　14分