Question

已知点M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，应该先设出点M的坐标及圆的半径，利用题中的条件建立方程求解即可；
（2）由题意利用所给的条件信息及（1）中的圆的半径与a，b的关系和离心率进而求解出椭圆的方程．

解答：解：（1）设M（x₀，y₀），圆M的半径为r．
因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，
所以MF⊥x轴，所以x₀=c，r=|y₀|①
因为点M在椭圆上，所以

x02

a2

+

y02

b2

=1
将上式代入上式得

c2

a2

+

r2

b2

=1，

r2

b2

=1-

c2

a2

=

a2-c2

a2

因为a²-c²=b²所以

r2

b2

=

b2

a2

即：r=

b2

a

②
又因为圆M与y轴相切，所以M到y轴的距离等于半径r，即：r=|x₀|③
由①，②，③得

b2

a

=c即：b²=ac从而得c²+ac-a²=0
两边同除以a²，得：（(

c

a

)2+(

c

a

)-1=0，e=

c

a

，e²+e-1=0
解得：e=

-1± 5

2

因为e∈（0，1）
            故：e=

5 -1

2

．
（2）因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，
M到圆y轴的距离d=

3

又由（1）知：r=

b2

a

，d=c
所以，c=

3

，

b2

a

=2又因为a²-b²=c²
从而有a²-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）b²=2a=6
所求椭圆方程是：

x2

9

+

y2

6

=1

点评：（1）此问重点考查了利用方程的思想先设出变量在利用条件进行建立方程求解，还考查了椭圆的基本性质和学生的运算能力；
（2）此问重点考查了利用所给信息先简化变量，还考查了一元二次方程的求解方法．