Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=tan

4π

3

且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证f（x）为奇函数；
（Ⅱ）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过赋值，令x=y=0得f（0）=0；再令y=-x可得f（x）+f（-x）=0，从而可证f（x）为奇函数；
（Ⅱ）利用f（3）=

3

＞0=f（0），f（x）在R上是单调函数知，f（x）在R上是增函数，再利用f（x）是奇函数，可将f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0转化为k•3^x＜-3^x+9^x+2，通过分离参数k，利用恒成立问题，借助基本不等式即可求得k的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：令x=y=0得：f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0；
再令y=-x得：f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为R上的奇函数，f（0）=0；
（Ⅱ））∵f（3）=tan

4π

3

=

3

＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，
∴f（x）在R上是增函数，又f（x）是奇函数，
∴f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0?f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分离系数得：k＜-1+t+

2

t

，
问题等价于k＜-1+t+

2

t

对任意t＞0恒成立．
∵-1+t+

2

t

≥-1+2

2

，
∴k＜-1+2

2

．
∴实数k的取值范围为（-∞，-1+2

2

）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性与奇偶性的判定，函数单调的判定是难点，考查等价转化思想与综合运算求解能力，属于难题．