Question

已知函数f(x)=x³+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的导函数.

(1)对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，求实数x的取值范围；

(2)设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.

Answer 1

解：(1)由题意,g(x)=3x²-ax+3a-5.

    令φ(a)=(3-x)a+3x²-5,-1≤a≤1.

    对-1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即有φ(a)＜0.

∴

    即

    解得-＜x＜1.

    故x∈(-,1)时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.

(2)f′(x)=3x²-3m².

①当m=0时，f′(x)=x³-1的图象与直线y=3只有一个公共点；

②当m≠0时，

    列表：

x	(-∞,-|m|)	-|m|	(-|m|,|m|)	|m|	(|m|,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大	↘	极小	↗

f(x)_极小=f(|m|)=-2m²|m|-1＜-1.

    又因为f(x)的值域是R，且在(|m|,+∞)上单调递增，所以当x＞|m|时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.

    当x＜|m|时，恒有f(x)≤f(-|m|).

    由题意得，f(-|m|)＜3,

    即2m²|m|-1=2|m|³-1＜3.

    解得m∈(-,0)∪(0,).

    综上，m的取值范围是(-,).