题目内容

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若l＜m＜n＜e，证明 $数学公式$ ；
（Ⅲ）函数 $数学公式$ ，证明：?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

（I）解：由f（x）=ax+lnx求导可得：f′（x）=a+ $\text{[math]}$ ．
令f′（x）=a+ $\text{[math]}$ =0，可得a=- $\text{[math]}$
∵x∈（1，e），∴- $\text{[math]}$ ∈（-1，- $\text{[math]}$ ），∴a∈（-1，- $\text{[math]}$ ）
又x∈（1，e）时

∴f（x）有极值时实数a的取值范围为（-1，- $\text{[math]}$ ）；
（Ⅱ）要证 $\text{[math]}$ ，即证nlnm＜mlnn，即证 $\text{[math]}$
令F（x）= $\text{[math]}$ ，x∈（1，e），则F′（x）= $\text{[math]}$
∴当x∈（1，e）时，F′（x）＞0，∴F（x）在（1，e）上为增函数
∵l＜m＜n＜e，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）证明：由g（x）=x³-x-2求导可得g'（x）=3x²-1
令g'（x）=3x²-1=0，解得x=± $\text{[math]}$
令g'（x）=3x²-1＞0，解得x＜- $\text{[math]}$ 或x＞ $\text{[math]}$
又∵x∈（1，e）⊆（ $\text{[math]}$ ，+∞），∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2，∴g（x）在x∈（1，e）的值域为（-2，e³-e-2）
∵e3-e-2＞-1+ln（- $\text{[math]}$ ），-2＜ae+1，-2＜a
∴（ae+1，-1+ln（- $\text{[math]}$ ）]⊆（-2，e3-e-2），
（a，-1+ln（- $\text{[math]}$ ）]⊆（-2，e3-e-2）
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．
分析：（I）由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f′（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解．
（Ⅱ）要证 $\text{[math]}$ ，即证nlnm＜mlnn，即证 $\text{[math]}$ ，构造函数F（x）= $\text{[math]}$ ，x∈（1，e），证明F（x）在（1，e）上为增函数，即可证得结论；
（Ⅲ）由?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）f（x₁）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可．
点评：本题主要考查用导数来研究函数的单调性，极值，最值等问题，考查不等式的证明，属于中档题．