Question

已知函数f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．设函数F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：由题设条件知F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9，（x≥0），故F′（x）=-3x²+12．令F′（x）=0，得x=2，（x=-2舍去）．由此能求出F（x）的单调区间与极值．

解答：解：F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²
=-x³+12x+9，（x≥0），
∴F′（x）=-3x²+12．
令F′（x）=0，得x=2，（x=-2舍去）．
当x∈（0，2）时，F′（x）＞0；
当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0，
故当x∈[0，2）时，F（x）为增函数；
当x∈[2，+∞）时，F（x）为减函数．
x=2为F（x）的极大值点，
且F（2）=-8+24+9=25．
故F（x）的单调增区间为[0，2），单调减区间为[2，+∞），极大值为25．

点评：本题主要考查函数的性质、导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．