Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足3Sn=4an-2n+1+2，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求首项a₁
（Ⅱ）令bn=an+2n，求证{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设cn=

2n+1

3Sn

，n=1，2，3，…，数列{c_n}的前n项的和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）n=1代入，即可求a₁；
（Ⅱ）再写一式，两式相减，即可证明{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）写出数列的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：当n=1时，3a₁=3S₁=4a₁-4+2，∴a₁=2   …（2分）
（Ⅱ）证明：由3Sn=4an-2n+1+2，n=1，2，3，…  ①
则3Sn-1=4an-1-2n+2，n=2，3，…    ②
将①和②相减得3a_n=3S_n-3S_n-1=4（a_n-a_n-1）-（2ⁿ⁺¹-2ⁿ）
整理得a_n=4a_n-1+2ⁿ，…（4分）
故

bn

bn-1

=

an+2n

an-1+2n-1

=4（n≥2）
因而数列{b_n}是首项为b₁=a₁+2=4，公比为4的等比数列 …（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知b_n=4ⁿ，
∵bn=an+2n，∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，…（7分）
将a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得3Sn=4(4n-2n)-2n+1+2=2（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1）
∴cn=

2n+1

3Sn

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

       …（12分）
∴T_n=

1

21-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1 …（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．