Question

（2006•广州一模）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，则四棱锥B₁-A₁BCD₁的体积是（　　）

A．10

B．20

C．30

D．60

Answer 1

分析：以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，知

A1D1

 =(-5，0，0)，

A1B

=(0，4，-3)，故平面A₁BCD₁的法向量为

n

=(x，y，z)，所以点B₁到平面A₁BCD₁的距离d=

|0+12+0|

0+9+16

=

12

5

，S_{四边形A1BCD1}=5×5=25，由此能求出四棱锥B₁-A₁BCD₁的体积．

解答：解：以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴A₁（5，0，3），B（5，4，0），D₁（0，0，3），B₁（5，4，3），
∴

A1D1

 =(-5，0，0)，

A1B

=(0，4，-3)，
设平面A₁BCD₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

-5x=0 4y-3z=0

，∴

n

=(0，3，4)，
∵

A1B1

=（0，4，0），
∴点B₁到平面A₁BCD₁的距离d=

|0+12+0|

0+9+16

=

12

5

，
长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴A1B=

AA12+AB2

=

9+16

=5，
∴S_四边形A1BCD₁=A₁D₁×A₁B=5×5=25，
∴四棱锥B₁-A₁BCD₁的体积V_四棱锥B1-A₁BCD₁=

1

3

×S四边形A1BCD1×

12

5

=

1

3

×25×

12

5

=20．
故选B．

点评：本题考查棱锥的体积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．