Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n ，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n} 中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2），利用a_n=S_n-S_n-1可得3a_n=5a_n-a_n-1，化为an=

1

2

an-1．
利用等比数列的通项公式即可得出a_n，进而得到b_n．再利用“错位相减法”即可得出T_n．
（2）利用（1）得出c_n，再利用c_n＜c_n+1，可化为n＞（n+1）t，即t＜

n

n+1

，利用

n

n+1

单调性即可得出．

解答：解：（1）∵3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2），∴3a_n=5a_n-a_n-1，化为an=

1

2

an-1．
∴数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴an=2×(

1

2

)n-1=2^2-n．
∴bn=(2n-1)•22-n．
∴T_n=1×2+3×2⁰+5×2^-1+…+（2n-3）×2^3-n+（2n-1）•2^2-n，
2T_n=1×2²+3×2¹+…+（2n-3）•2^4-n+（2n-1）•2^3-n．
∴T_n=4+2×2¹+2×2⁰+…+2×2^3-n-（2n-1）•2^2-n．
=2×

4(1- 1 2n )

1- 1 2

-4-（2n-1）•2^2-n
=16(1-

1

2n

)-4-（2n-1）2^2-n
=12-

16

2n

-（2n-1）•2^2-n．
（2）cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntⁿ[lg（2t）-1]．
∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿ[lg（2t）-1]＜（n+1）tⁿ⁺¹[lg（2t）-1]．（*）
∵0＜t＜1，∴0＜2t＜2，∴lg（2t）＜1．
∴（*）化为n＞（n+1）t，∴t＜

n

n+1

．
∵

n

n+1

随着n的增大而减小，
∴t＜

1

2

．
而0＜t＜1．
得到0＜t＜

1

2

．即为t的取值范围．

点评：熟练掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得出a_n；变形利用等比数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式及其数列的单调性等是解题的关键．