Question

如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

Answer 1

【答案】分析：设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导．
解答：解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴．
∵DM=y-（1-cos），DC=sin，∴
∴．
上式两边对时间t进行求导，则y′_t=y′_x•x′_t．
∴y′_t=
当时，x′_t=v，代入上式得点M的速度．
点评：本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；
同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．