Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*满足关系式2S_n=3a_n-3．数列{b_n}是公差不为0的等差数列，且b₁=2，b₂，b₁，b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，两式相减，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3ⁿ．由b₂，b₁，b₃成等比数列，能求出b_n．
（2）设cn=anbn=(-3n+5)•3n，由Tn=c1+c2+c3+…+cn=2×31+(-1)×32+(-4)×33+…+(-3n+5)×3n，利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又当n=1时，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故数列{a_n}为等比数列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
∵b₂，b₁，b₃成等比数列，
∴b12=b2b3，即4=（2+d）（2+2d）
解得，d=-3或d=0（舍去）
∴b_n=2-3（n-1）=-3n+5．
（2）设cn=anbn=(-3n+5)•3n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=2×31+(-1)×32+(-4)×33+…+(-3n+5)×3n，①
∴3Tn=2×32+(-1)×33+(-4)×34+…+(-3n+5)×3n+1，②
②-①得，2Tn=-6+3×32+3×33+…+3×3n+(-3n+5)×3n+1
=-6+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹+（-3n+5）×3ⁿ⁺¹
=-6+

33-3n+1×3

1-3

+(-3n+5)×3n+1
=-

39

2

+(

13

2

-3n)×3n+1
∴Tn=-

39

4

+(

13

4

-

3

2

n)×3n+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减法的合理运用．