Question

设函数f（x）=2sin（

π

8

x+

π

4

）+1．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x），x∈[-2，14]的图象．
（Ⅱ）求函数g（x）=f（2+x）+f（2-x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根据题意，结合正弦函数图象的作法，求出图象在区间[-2，14]内的五个特殊点，再通过描点、连线，即可得到所求的图象．
（II）由函数f（x）的表达式，结合

π

2

±α的诱导公式，可将函数g（x）化简成4cos

π

8

x+2，再结合余弦函数的值域，可得函数g（x）的值域．

解答：解：（I）由题意，可得
函数f（x）=2sin（

π

8

x+

π

4

）+1图象依次经过点
（-2，1），（2，3），（6，1），（10，-1）
和（14，1）．根据“五点法”三角函数的图象，
可作出函数f（x）在区间[-2，14]内的图象，如右图；
（II）∵f（x）=2sin（

π

8

x+

π

4

）+1
∴f（2+x）=2sin[

π

8

(2+x)+

π

4

]+1=2cos

π

8

x+1，
f（2-x）=2sin[

π

8

(2-x)+

π

4

]+1=2cos

π

8

x+1，
可得g（x）=f（2+x）+f（2-x）=4cos

π

8

x+2，
∵-1≤cos

π

8

x≤1
∴-2≤g（x）≤6，即函数g（x）=f（2+x）+f（2-x）的值域为[-2，6]

点评：本题给出三角函数表达式，要求作出它在一个周期内的简图，并求另一个函数的值域．着重考查了三角函数的图象与性质，余弦函数的值域等知识，属于基础题．