Question

如图a所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB．已知AB=AD=CE=2，沿线段EF把四边形CDEF折起如图b所示，使平面CDEF⊥平面ABEF．
（1）求证：AF⊥平面CDEF；
（2）求三棱锥C-ADE的体积；
（3）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由平面CDFE⊥平面ABEF，AF⊥FE，根据面面垂直的性质定理可得AF⊥平面CDEF；
（2）AF为三棱锥A-CDE的高，计算出AF的长及底面三角形ADE的面积，代入棱锥体积公式可得答案；
（3）利用二面角B-AC-D的余弦值为

S△ADC

S△ABC

，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF=EF，AF⊥FE，AF?平面ABEF，
∴AF⊥平面CDEF；
（2）解：由（1）知，AF为三棱锥A-CDE的高，且AF=1，
又∵AB=CE=2，∴S△CDE=

1

2

×2×2=2，
故三棱锥C-ADE体积V=

1

3

AF•S_△CDE=

2

3

；
（3）解：由题意，AD=

2

，CD=

5

，BC=

5

，AB=2，AC=3
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

5

∵cos∠DCA=

DC2+AC2-AD2

2DC•AC

=

5+9-2

2 5 ×3

=

2

5

∴sin∠DCA=

1

5

∴S△ADC=

1

2

DC•ACsin∠DCA=

1

2

•

5

•3•

1

5

=

3

2

∴二面角B-AC-D的余弦值为

S△ADC

S△ABC

=

3 2

5

=

3 5

10

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，考查面面角，解题的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，判断出棱锥的高和底面面积，属于中档题．