Question

已知函数f(x)=x+

a

x

(a∈R），g（x）=lnx．
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程

g(x)

x2

=f(x)-2e（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．

Answer 1

（1）函数F(x)=f(x)+g(x)=x+

a

x

+lnx的定义域为（0，+∞）．
∴F′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

．
①当△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

时，得x²+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

时，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得x1=

-1- 1+4a

2

＜0，x2=

-1+ 1+4a

2

．
（ⅰ）若-

1

4

＜a≤0，则x2=

-1+ 1+4a

2

≤0．
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，

-1+ 1+4a

2

)时，F′（x）＜0；x∈(

-1+ 1+4a

2

，+∞)时，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在区间(0，

-1+ 1+4a

2

)上单调递减，在区间(

-1+ 1+4a

2

，+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为(0，

-1+ 1+4a

2

)，
单调递增区间为(

-1+ 1+4a

2

，+∞)．（8分）
（2）由

g(x)

x2

=f(x)-2e，得

lnx

x2

=x+

a

x

-2e，化为

lnx

x

=x2-2ex+a．
令h(x)=

lnx

x

，则h′(x)=

1-lnx

x2

．
令h′（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0；当x＞e时，h′（x）＜0．
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减．
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为h(e)=

1

e

．（10分）
而函数m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e²．（12分）
∴当a-e2=

1

e

，即a=e2+

1

e

时，方程

g(x)

x2

=f(x)-2e只有一个根．（14分）