题目内容

已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 $数学公式$ ．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l₁过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证： $数学公式$ = $数学公式$ ；
（3）记 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的最小值．

（1）解：设动点P（x，y）．依据题意，可得
$\text{[math]}$ ．　　　　（3分）
又 $\text{[math]}$ ，
于是， $\text{[math]}$ ，即y²=8x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y²=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l₁过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l₁的斜率不为零，故设l₁：x=my+2．　　　　　　　　　（7分）
联立方程组 $\text{[math]}$ 得y²-8my-16=0．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ，进一步得 $\text{[math]}$ （10分）
又∵曲线C：y²=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =右边．　　　　　　　　　　　　（12分）
∴ $\text{[math]}$ ．证毕！
（3）解：由（2）可知， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （当且仅当m=0时，等号成立）．　　　　　（16分）
∴ $\text{[math]}$ ．（18分）
分析：（1）确定向量的坐标，利用 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ =0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l₁的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，即可证得结论；
（3）确定 $\text{[math]}$ =（x₁，y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂，y₂），利用 $\text{[math]}$ ，可求cosθ的取值范围．
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．