题目内容

已知△ABC中，A＜B＜C，a=cosB，b=cosA，c=sinC
（1）求△ABC的外接圆半径和角C的值；
（2）求a+b+c的取值范围．
分析：（1）由正弦定理求得外接圆半径R．再由a=cosB，b=cosA，可得
cosB
sinA
=
cosA
sinB
，化简得sin2A=sin2B．
再由A＜B＜C，可得2A+2B=π，由此可得C的值．
（2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=
2
sin（A+
π
4
）+1．再由O＜A＜
π
4
，利用正弦函数的定义域和值域
求得sin（A+
π
4
）+1＜
2
+1的范围，即可求得a+b+c的取值范围．
解答：解：（1）由正弦定理
c
sinC
=2R=1，∴R=
1
2
．
再由a=cosB，b=cosA，可得
cosB
sinA
=
cosA
sinB
，故有sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B．
再由A＜B＜C，可得2A+2B=π，∴C=
π
2
．
（2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=sinA+cosA+1=
2
sin（A+
π
4
）+1．
再由O＜A＜
π
4
，可得
π
4
＜A+
π
4
＜
π
2
，∴
2
2
＜sin（A+
π
4
）＜1，
∴2＜
2
sin（A+
π
4
）+1＜
2
+1，
即a+b+c的取值范围为（2，
2
+1）．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．
已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB边上的高所在的直线方程；
（2）直线l∥AB，与AC，BC依次交于E，F，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直线方程．
已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，则边长c=
3
3
．
已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)满足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面积S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．
已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

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