Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）求函数的值域；
（2）判断并证明函数的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用有界法求解，将函数看作方程，解得2x=

1+y

1-y

，再由2^x＞0，解得y的范围，即为所求．
（2）先对函数作适当变形，再利用定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与零比较，由定义得到结论．

解答：解：（1）∵2x=

1+y

1-y

，
又2^x＞0，即

1+y

1-y

＞0，
解可得-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）
（2）函数f（x）在x∈R上为单调增函数
证明：f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
从而f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函数f（x）在x∈R上为单调增函数．

点评：本题主要考查函数值域的求法和单调性的证明，值域常见方法有单调性法，基本函数法，有界性法，判别式法等，证明单调性一般有定义法，导数法．