Question

已知A（1，3），B（5，-2），在x轴上有一点P，若||AP|-|BP||最大，则P点坐标是

（13，0）

．

Answer 1

分析：作B点关于x轴的对称点C（5，2），延长AC交x轴于点P₀，可得当动点P与P₀重合时，||AP|-|BP||最大．求出直线AC的方程，从而得到P₀的坐标，即得所求点P坐标．

解答：解：设B关于x轴的对称点为C
∵B的坐标为（5，-2），∴C坐标为（5，2）
延长AC交x轴于点P₀，可得
当P与P₀不重合时，
在△PAC中，||AP|-|CP||＜|AC|=||AP₀|-|CP₀||
从而得出||AP|-|BP||=||AP|-|CP||＜||AP₀|-|CP₀||
当P与P₀重合时，||AP|-|BP||=||AP₀|-|CP₀||=|AC|
∴当动点P与P₀重合时，||AP|-|BP||最大，最大值为A、C的距离
直线AC方程为

y-3

2-3

=

x-1

5-1

，化简得y=-

1

4

x+

13

4

令y=0，得x=13，可得P₀的坐标为（13，0）
故答案为：（13，0）

点评：本题给出两个定点，求x轴上的动点到两个定点的距离差的最大值．着重考查了直线的方程、直线的位置关系和两点间距离公式的应用等知识，属于中档题．