Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，右焦点为，直线与轴相交于点，且是的中点.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于两点，都在轴上方，并且在之间，且到直线的距离是到直线距离的倍.

①记的面积分别为，求；

②若原点到直线的距离为，求椭圆方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②．

【解析】

试题本题以直线与椭圆的位置关系为背景．第（1）小题设计为求椭圆的离心率，只需利用条件是的中点，可得，从而得．第（2）小题中第①题求，需要用等积法进行转化，即．第②题求椭圆方程，设直线方程为．注意到，和原点到直线的距离为，，从而可以确定，，的值．

试题解析：（1）因为是的中点，所以，即，又、，

所以，所以；

（2）①解法一：过作直线的垂线，垂足分别为，依题意，，

又，故，故是的中点，∴，

又是中点，∴，∴；

解法二：∵，∴，椭圆方程为，，，

设，，点在椭圆上，即有，

同理，

又，故得是的中点，∴，

又是中点，∴，∴；

②解法一：设，则椭圆方程为，

由①知是的中点，不妨设，则，

又都在椭圆上，即有 即

两式相减得：，解得，

可得，故直线的斜率为，

直线的方程为，即

原点到直线的距离为，

依题意，解得，故椭圆方程为．

解法二：设，则椭圆方程为，

由①知是的中点，故，

直线的斜率显然存在，不妨设为，故其方程为，与椭圆联立，并消去得：，整理得：，（*）

设，，依题意： ]

由 解得：

所以，解之得：，即．

直线的方程为，即

原点到直线的距离为，

依题意，解得，故椭圆方程为．