Question

（2012•唐山二模）直线l与双曲线C：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0)交于A、B两点，M是线段AB的中 点，若l与OM （O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（　　）

• A．2
• B．

  2

• C．3
• D．

  3

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M是线段AB的中点，知M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线C：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0)，得

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22  b2 =1

，故b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，直线l的斜率kl=

b2(x1 +x2)

a2(y1+y2)

，由M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），O（0，0），知OM的斜率kOM=

y1+y2

x1+x2

，由l与OM的斜率的乘积等于1，知a=b，由此能求出此双曲线的离心率．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M是线段AB的中点，∴M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线C：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0)，
得

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22  b2 =1

，
∴b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴直线l的斜率kl=

b2(x1 +x2)

a2(y1+y2)

，
∵M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），O（0，0），
∴OM的斜率kOM=

y1+y2

x1+x2

，
∵l与OM的斜率的乘积等于1，
∴

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

•

y1+y2

x1+x2

=

a2

b2

=1，
∴a=b，
∴此双曲线的离心率e=

2

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．