Question

正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的边长为4，M、N、E、F分别是棱A₁D₁、A₁B₁、D₁C₁、B₁C₁的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD.

 

Answer 1

证明：建立如图坐标系，则A(4,0,0), M(2,0,4), N(4,2,4), D(0,0,0), B(4,4,0), E(0,2,4), F(2,4,4).

取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，则G(3,1,4),K(1,3,4),Q(2,2,0).

∴=(2,2,0), =(2,2,0), =(-1,1,4), =(-1,1,4).

可见=，=,

∴MN∥EF,AG∥QK.

∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.

∴平面AMN∥平面EFBD.?

温馨提示：(1)证面面平行，要证一个平面内的两条不共线的向量分别与另一个平面平行.(2)本题还可先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.