Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（Ⅱ）试确定k的值，使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直．

Answer 1

分析 （I）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$即可得出．
（II）由k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直．（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-2k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，代入解出即可．

解答 解：（I）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，$|\overrightarrow{a}|$=1，$|\overrightarrow{b}|$=2，∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
（II）由k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直．∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-2k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，∴k+（1-2k）-2×2²=0，
解得k=-7．∴当k=-7时，使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．