Question

已知函数f（x）=2lnx-x²+ax，a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；
（2）若函数上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求证：f′（px₁+qx₂）＜0（其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）

Answer 1

解：（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，
，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f'（1）=2，
则切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x²+m=0，
令g（x）=2lnx-x²+m，则，
因为，故g'（x）=0时，x=1．
当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．
故函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m-1，（4分）
又，g（e）=m+2-e²，
，则，
故函数g（x）在上的最小值是g（e）．（6分）
方程f（x）-ax+m=0在上有两个不相等的实数根，则有
解得，故实数m的取值范围是．（8分）
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0），B（x₂，0），2lnx-x²+ax=0的两个根为x₁，x₂，
则两式相减得，f（x）=2lnx-x²+ax，，
则=
=
=．（*）（10分）
∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，又0＜x₁＜x₂，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0，
下证，即证明．
令，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，
即证明在0＜t＜1上恒成立，（12分）
∵，
∵0＜p≤q，∴，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知，
故（*）＜0，即f'（px₁+qx₂）＜0成立．（14分）
分析：（1）先求出切点坐标，然后利用导数求出k=f'（1），最后根据点斜式求出切线方程即可；
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x²+m=0，令g（x）=2lnx-x²+m，利用导数研究该函数在上的最小值，要使方程f（x）-ax+m=0在上有两个不相等的实数根，则有，解之即可；
（3）将a用x₁与x₂表示，然后求出导函数f′（x），从而得到f′（px₁+qx₂），然后利用导数研究函数的单调性证明f′（px₁+qx₂）＜0．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．