Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为侧面ABB₁A₁所在平面上的一个动点，且M到平面ADD₁A₁的距离是M到直线BC距离的2倍，则动点M的轨迹为

1. A.
   椭圆
2. B.
   双曲线
3. C.
   抛物线
4. D.
   圆

Answer 1

A
分析：作MN⊥AA₁于N，连接MB，根据面面垂直、线面垂直的性质，证出MN、MB分别是M到平面ADD₁A₁、直线BC的距离，可得MN=2MB．然后在平面AA₁B₁B内利用圆锥曲线的统一定义，即可得到动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA₁为一条准线的椭圆．
解答：解：平面ABB₁A₁内作MN⊥AA₁于N，连接MB
∵平面ABB₁A₁⊥平面AA₁D₁D，平面ABB₁A₁∩平面AA₁D₁D=AA₁，
∴MN⊥平面AA₁D₁D，可得MN就是M到平面ADD₁A₁的距离，
∵BC⊥平面ABB₁A₁，MB?平面ABB₁A₁，
∴MB⊥BC，即MB就是M到BC的距离，
∵M到平面ADD₁A₁的距离是M到直线BC距离的2倍，即MN=2MB
∴根据圆锥曲线的统一定义，可得动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA₁为一条
准线的曲线，其离心率e==．
因此，动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA₁为一条准线的椭圆．
故选：A
点评：本题给出正方体中，侧面ABB₁A₁内动点M到平面ADD₁A₁的距离是M到直线BC距离的2倍，求M的轨迹对应曲线的类型，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的性质和圆锥曲线统一定义等知识，属于中档题．