Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．

（1）求椭圆的方程

（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直线满足题设条件,详见解析

【解析】

（1）由已知列出关于，，的方程组，解得，，，写出结果即可；

（2）由已知可得，，．所以，因为，所以可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得．设，，，，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．

（1）由已知可得，

解得，，，所以椭圆的方程为．

（2）由已知可得，，∴.∵，

∴可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，

得.设，

则，∵.

即

∵

即，∵

∴或.

由，得

又时，直线过点，不合要求，∴，

故存在直线满足题设条件.