Question

设函数f（x）=2x-cos4x，{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=11π，则[f(a2)]2-a1a5=（　　）

• A．0
• B．

  1

  8

  π2
• C．

  3

  8

  π2
• D．

  13

  16

  π2

Answer 1

分析：先设数列{a_n}的首项为a₁，则根据条件可得，2（a₁+a₂+…+a₈）=11π，利用等差数列的求和公式可求得首项a₁从而得出a₂，a₅，最后即可求出[f(a2)]2-a1a5的值．

解答：解：设数列{a_n}的首项为a₁，则根据f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=11π，得
2a₁-cos4a₁+2a₂-cos4a₂+…+2a₈-cos4a₈=11π
∴2a₁+2a₂+…+2a₈=11π，即2（8a₁+

8×7

2

×

π

8

）=11π，
∴a₁=

π

4

，
∴a₂=

3π

8

，a₅=

π

4

+4×

π

8

=

3π

4

，
则[f(a2)]2-a1a5=[2×

3π

8

-cos（4×

3π

8

）]²-

π

4

×

3π

4

=

3

8

π2．
故选C．

点评：利用方程思想解决等差数列的问题，正确的列方程或列方程组是解决问题的关键，方程思想是高中数学比较重要的四大思想之一．