Question

若θ是三角形的一个内角，且m=sinθ+cosθ，则“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：利用m=sinθ+cosθ，两边平方m²=1+2sinθcosθ，结合θ是三角形的一个内角，可知充分性成立；当θ=

3π

4

时，方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线，但是m=sinθ+cosθ=0，故可得结论．

解答：解：∵m=sinθ+cosθ，∴m²=1+2sinθcosθ
∵0＜m＜1，∴sinθcosθ＜0
∵θ是三角形的一个内角，∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线
∴“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线”的充分条件
当θ=

3π

4

时，方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线，但是m=sinθ+cosθ=0
∴“0＜m＜1”不是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线”的必要条件
∴“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件
故选A．

点评：本题考查四种条件的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．