Question

10．若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间（$\frac{1}{2}$，1）内恒有f（x）＜0，则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$）
• B． （-$\frac{1}{4}$，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈（$\frac{1}{2}$，1），得2x²+x∈（1，3），至此可由恒有f（x）＜0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．

解答 解：函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间（$\frac{1}{2}$，1）恒有f（x）＜0，
由于x∈（$\frac{1}{2}$，1），得2x²+x∈（1，3），又在区间（$\frac{1}{2}$，1）恒有f（x）＜0，故有a∈（0，1）
对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，
由t=2x²+x＞0得：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，+∞），
由y=log_at为减函数，t=2x²+x在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上为减函数，
函数的单调递增区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$）
故选：C

点评 本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键．