题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=na_n- $数学公式$ n（n-1），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数n，使S₁+ $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ =63？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵S_n=na_n- $\text{[math]}$ n（n-1），
∴n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1- $\text{[math]}$ （n-1）（n-2），
∴两式相减可得：a_n-a_n-1=3，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）•3=3n-2；
（2）S_n=na_n- $\text{[math]}$ n（n-1）= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列
∴S₁+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =n+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ =63，则n=9．
分析：（1）再写一式，两式相减，可得a_n-a_n-1=3，即数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，利用等差数列的求和公式，即可求得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．