Question

设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，则
①；
②；
③存在a，b使f（x）是奇函数；  
④f（x）的单调增区间是[2k；
⑤经过点（a，b）的所有直线与函数f（x）的图象都相交．
以上结论正确的是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据已知条件求出函数f（x）的解析式，进而即可判断出答案．
解答：解：由题意函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，
可知：当时，函数f（x）取得最值，即，化为．
∴f（x）====，
∴．（b≠0）．
①由上面可知：=2bsinπ=0，因此正确；
②∵==，==，
又，b≠0．
∴，故正确．
③∵f（0）=b≠0，故不存在实数a、b使得函数f（x0为奇函数，因此不正确；
④其单调区间与b的正负有关系，因此分别讨论，故④不正确；
⑤由，可知函数f（x）的值域为[-2|b|，2|b|]，因此经过点（a，b）的所有直线与函数f（x）的图象都相交，正确．
综上可知：只有①②⑤正确．
故答案为①②⑤．
点评：熟练掌握三角函数的图象与性质是解题的关键．