Question

（本小题满分13分）

如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD= 2，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B.

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角B-AD-E的余弦值.

Answer 1

（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，连结OD、BE，

∵AD=DE=，∴OD⊥AE，

又∵二面角D—AE—B为直二面角，

 ∴OD⊥平面ABCE， ∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2，

∴AB²=AE²+BE²，AE⊥BE，OD∩AE=O，∴BE⊥平面ADE，

∴BE⊥AD，BE∩DE=E，∴AD⊥平面BDE.     …………………………（6分）

（Ⅱ）取AB中点F，连结OF，则OF//EB，∴OF⊥平面ADE，

以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系（如图），

则A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(-1，2，0)，，，

设是平面ABD的一个法向量，则，,∴取x=1，则y=1，z= 1，则，平面ADE的法向量

∴.     …………………………（13分）