Question

设f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax
（1）若f（x）在(

2

3

，+∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为-

16

3

，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．
（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．

解答：解：（1）f′（x）=-x²+x+2a
f（x）在(

2

3

，+∞)存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在(

2

3

，+∞)有解
∵f′（x）=-x²+x+2a对称轴为x=

1

2

∴f′(x)=-x2+x+2a在(

1

2

，+∞)递减
∴f′(x)＜f′(

2

3

)=

2

9

+2a＞0
解得a＞-

1

9

．

（2）当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为

-1- 1+8a

-2

；

-1+ 1+8a

-2

（舍）
∵

-1- 1+8a

-2

∈[1，4]
∴1＜x＜

-1- 1+8a

-2

时，f′（x）＞0；

-1- 1+8a

-2

＜x＜4时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+

1

6

；当x=4时，f（4）=8a-

40

3

＜f（1）
当x=4时最小∴8a-

40

3

=-

16

3

解得a=1
所以当x=

-1- 1+8a

-2

=2时最大为

10

3

点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．