Question

将集合{n|n=2^r+2^s，0≤r＜s，r、s∈N}中的元素从小到大排列，组成数列{a_n}，求a₁₀₀=

16640

．

Answer 1

分析：设a₁₀₀=2^s₀+2^t₀，只须确定正整数s₀，t₀，利用数列{a_n}中小于2^t₀的项构成的子集元素个数，即可求得结论．

解答：解：由题意，a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…
设a₁₀₀=2^s₀+2^t₀，只须确定正整数s₀，t₀．
数列{a_n}中小于2^t₀的项构成的子集为{2^t+2^s|0≤s＜t＜t₀}，其元素个数为C_t0²=

t0(t0-1)

2

，
依题意

t0(t0-1)

2

＜100．
∴满足不等式的最大整数t₀为14，所以取t₀=14．
因为100-C₁₄²=s₀+1，由此解得s₀=8，
∴a₁₀₀=2¹⁴+2⁸=16640．
故答案为：16640．

点评：本题考查数列知识，考查组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．