Question

已知f(x)=log

1

2

(x2-ax-a)在区间(-∞，-

1

2

)上是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：用复合函数的单调性来求解，令g（x）=x²-ax-a．由“f（x）=log

1

2

^g（x）在（-∞，-

1

2

）上为增函数”，可知g（x）应在（-∞，-

1

2

）上为减函数且g（x）＞0在（-∞，-

1

2

）上恒成立．再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．

解答：解：令g（x）=x²-ax-a．
∵f（x）=log

1

2

g（x）在（-∞，-

1

2

）上为增函数，
∴g（x）应在（-∞，-

1

2

）上为减函数且g（x）＞0
在（-∞，-

1

2

）上恒成立．
因此

a 2 ≥- 1 2 g(- 1 2 )＞ 0

，

a≥-1 1 4 + a 2 -a＞0

．
解得-1≤a＜

1

2

，
故实数a的取值范围是-1≤a＜

1

2

．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用．