Question

已知实数m＞-1，则关于x的方程x³-6x²+9x+1+m=0的实根个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：令函数f（x）=x³-6x²+9x+1+m，本题即求函数f（x）的零点个数，利用导数求得函数的极值，结合单调性画出函数的单调性示意图，数形结合可得结论．

解答：解：令函数f（x）=x³-6x²+9x+1+m，
本题即求函数f（x）的零点个数．
由于f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
显然，在（-∞，1）上，f′（x）＞0；
在（1，3）上f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0，
故函数f（x）的增区间为（-∞，1）、（3，+∞），
减区间为 （1，3），
故函数的极大值为f（1）=5+m＞4，
极小值为f（3）=1+m＞0，
当x趋于-∞时，函数值趋于-∞，
故函数f（x）的单调性示意图如图所示：
故函数f（x）的零点个数为1，
故选B．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．