题目内容
已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-
＜φ＜
）的图象如图所示，直线x=
，x=
是其两条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a）=
，且
＜α＜
，求f（
+α）的值．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| 7π |
| 8 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a）=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
（本题满分14分）
（1）由题意，
=
-
=
，∴T=π．
又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．（2分）
由f（
）=2sin（
+φ）=2，解得φ=2kπ-
（k∈Z）．
又-
＜φ＜
，∴φ=-
，∴f（x）=2sin（2x-
）．（5分）
由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
（k∈Z），知kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z），
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）．（7分）
（2）解法1：依题意得2sin（2α-
）=
，即sin（2α-
）=
，（8分）
∵
＜α＜
，∴0＜2α-
＜
．
∴cos（2α-
）=
，（10分）
f（
+α）=2sin[（2α-
）+
]．
∵sin[（2α-
）+
]=sin（2α-
）cos
+cos（2α-
）sin
=
（
+
）=
，
∴f（
+α）=
．（14分）
解法2：依题意得sin（2α-
）=
，得sin2α-cos2α=
，①（9分）
∵
＜α＜
，∴0＜2α-
＜
，
∴cos（α-
）=
，（11分）
由cos（2α-
）=
得sin2α+cos2α=
．②
①+②得2sin2α=
，
∴f（
+α）=
．（14分）
（1）由题意，
| T |
| 2 |
| 7π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 2 |
又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．（2分）
由f（
| 3π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
又-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
（2）解法1：依题意得2sin（2α-
| π |
| 4 |
| 6 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
∵
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴cos（2α-
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
f（
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∵sin[（2α-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
7
| ||
| 10 |
∴f（
| π |
| 8 |
7
| ||
| 5 |
解法2：依题意得sin（2α-
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
3
| ||
| 5 |
∵
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴cos（α-
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
由cos（2α-
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
4
| ||
| 5 |
①+②得2sin2α=
7
| ||
| 5 |
∴f（
| π |
| 8 |
7
| ||
| 5 |
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