题目内容

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）满足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1= $数学公式$ ，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（Ⅰ）求经过点P₁，P₂的直线l的方程；
（Ⅱ）已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂两点确定的直线l上，求数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥k $数学公式$ 成立的最大实数k的值．

解：（Ⅰ）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以a₂=a₁b₂= $\text{[math]}$ ．所以P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
所以过点P₁，P₂的直线l的方程为 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂两点确定的直线l上，
∴2a_n+b_n=1．
由a_n+1=a_nb_n+1可得 a_n+1=a_n（1-2a_n+1），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2，故{ $\text{[math]}$ }是公差等于2的等差数列．
所以 $\text{[math]}$ =1+2（n-1）=2n-1，所以a_n= $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n= $\text{[math]}$ ．依题意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ 恒成立．
设F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ ，所以只需求满足 k≤F（n）的F（n）的最小值．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（1+a_n+1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞1，
所以F（n）（x∈N^*）为增函数．
所以F（n）_min=F（1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以 k≤ $\text{[math]}$ ．
所以k_max= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先求出a₂ 和b₂ 的值，即可得到P₂的坐标，用两点式求得过点P₁，P₂的直线l的方程．
（Ⅱ）把已知点P_n的坐标代入直线l的方程可得 2a_n+b_n=1，化简可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2，故{ $\text{[math]}$ }是公差等于2的等差数列，由此求得数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n= $\text{[math]}$ ．依题意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ 恒成立．设F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ ，利用单调性求得F（n）_min=F（1），故 k≤F（1），运算求得结果．
点评：本题主要考查等差关系的确定，数列与不等式的综合，数列的函数特性，函数的恒成立问题，属于难题．