题目内容
设F1，F2分别是双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
+
)•
=0，O为坐标原点，且|
|=
|
|，则该双曲线的离心率为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OP |
| OF2 |
| F2P |
| PF1 |
| 3 |
| PF2 |
分析：取PF2的中点A，由(
+
)•
=0，可得
⊥
，由OA是△PF1F2的中位线，得到PF1⊥PF2，由双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值，进而在△PF1F2中，由勾股定理可得结论．
| OP |
| OF2 |
| F2P |
| OA |
| F2P |
解答：解：取PF2的中点A，则
∵(
+
)•
=0，
∴2
•
=0，
∴
⊥
，
∵OA是△PF1F2的中位线，
∴PF1⊥PF2，OA=
PF1．
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=
|PF2|，
∴|PF2|=
，|PF1|=
．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴（
）2+（
）2=4c2，
∴e=
+1．
故答案为：
+1．
∵(
| OP |
| OF2 |
| F2P |
∴2
| OA |
| F2P |
∴
| OA |
| F2P |
∵OA是△PF1F2的中位线，
∴PF1⊥PF2，OA=
| 1 |
| 2 |
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=
| 3 |
∴|PF2|=
| 2a | ||
|
2
| ||
|
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴（
| 2a | ||
|
2
| ||
|
∴e=
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断△PF1F2是直角三角形，是解题的关键．
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的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使
，则双曲线的离心率为 （ ）
B．
C．
D．