Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n+n．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）若数列{b_n}满足，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=2a_n+n，可知当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1，两式相减整理即可证明
（2）由（1）可求a_n，代入可求b_n，利用错位相减求和即可
解答：（1）证明：∵S_n=2a_n+n．
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1．
两式相减可得，s_n-s_n-1=2a_n-2a_n-1+1
即a_n=2a_n-2a_n-1+1
∴a_n-1=2（a_n-1-1）
∵n=1时，S₁=2a₁+1
∴a₁=-1，a₁-1=-2
∴数列{a_n-1}是以-2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得=-2ⁿ
∴
∵
∴
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解 数列的通项公式，数列的求和方法：错位相减求和的应用．