Question

已知函数f（x）=log2

mx-1

1-x

是奇函数．
（1）求m的值；
（2）解关于x的不等式f^-1（x）＞b（b∈R，b是常数，b＜-1）．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇函数，求出m值即可．
（2）求出反函数，利用f^-1（x）＞b，通过换元法，结合b的范围，求解不等式即可．

解答：解：（1）函数是奇函数，所以f（-x）+f（x）=0恒成立，
所以log2

-mx-1

1+x

+log2

mx-1

1-x

=0，
即log2(

-mx-1

1+x

•

mx-1

1-x

)=

log

1 2

，
即

1-(mx)2

1-x2

=1，
所以1-（mx）²=1-x²，
所以m=±1，
当m=1时f（x）=

log

(-1) 2

，无意义，
∴m=-1．
（2）可求得，f^-1（x）=

2x+1

2x-1

，
f^-1（x）＞b即

(b-1)2x-(1+b)

2x-1

＜0，
令t=2^x，t＞0，则

(b-1) t-(1+b)

t-1

＜0，
即（t-1）[（b-1）t-（1+b）]＜0，
它的两个根为t₁=1，t₂=

b+1

b-1

，
当b＜-1时，b-1＜0，

b+1

b-1

＞0，t₁-t₂=1-

b+1

b-1

=-

2

b-1

＞0，
∴2^x＜

b+1

b-1

或2^x＞1，
∴x＜

log

b+1 b-1 2

或x＞0．

点评：本题考查函数的奇偶性，反函数的知识，含参数的不等式的解法是本题的难点，考查转化思想，计算能力．