题目内容

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0， $数学公式$
（I）若 $数学公式$ ，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 $数学公式$ ，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．

解：（I）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
（Ⅱ）解法一：由（I）得， $\text{[math]}$ 依题意， $\text{[math]}$ 又 $\text{[math]}$ ，故ω=3，∴ $\text{[math]}$
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 $\text{[math]}$ g（x）是偶函数当且仅当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 从而，最小正实数 $\text{[math]}$
解法二：由（I）得， $\text{[math]}$ ，依题意， $\text{[math]}$ 又 $\text{[math]}$ ，故ω=3，∴ $\text{[math]}$
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 $\text{[math]}$ ，g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立
亦即 $\text{[math]}$ 对x∈R恒成立．∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 对x∈R恒成立．∴ $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ 从而，最小正实数 $\text{[math]}$
分析：（I）利用特殊角的三角函数值化简 $\text{[math]}$ ，根据 $\text{[math]}$ 直接求出φ的值；
（Ⅱ）解法一：在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 $\text{[math]}$ ，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．推出 $\text{[math]}$ ，可求最小正实数m．
解法二：在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 $\text{[math]}$ ，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；利用g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．化简 $\text{[math]}$ ，然后再求最小正实数m．
点评：本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的图象的平移，偶函数的性质，转化思想的应用，考查计算能力，是常考题．