Question

若不等式

t2

t+2

≤a≤

t2+1

t

在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是

[1，2]

．

Answer 1

分析：由题意，不等式转化为

a≤ t2+1 t a≥ t2 t+2

；即当t∈（0，2]时，求y=

t2+1

t

的最小值和x=

t2

t+2

的最大值问题．

解答：解：∵不等式

t2

t+2

≤a≤

t2+1

t

，在t∈（0，2]上恒成立，
∴

a≤ t2+1 t a≥ t2 t+2

；
设y=

t2+1

t

，则y=t+

1

t

≥2，当且仅当t=1时，“=”成立，
∴y在t∈（0，2]上有最小值2，即a≤2；
又设x=

t2

t+2

，则x=

1

1 t + 2 t2

=

1

2( 1 t + 1 4 )2- 1 8

，
∵t∈（0，2]，
∴当t=2时，x在t∈（0，2]上有最大值1，即a≥1；
∴a的取值范围是1≤a≤2；
故答案为：[1，2]．

点评：本题考查了不等式恒成立问题，解题时可转化为求函数在某一区间上的最值问题，是容易出错的题目．