Question

【题目】如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）．

（1）证明：平面平面；

（2）若，试判断线段上是否存在一点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）存在，

【解析】

(1)先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直证明面平面即可；

(2)建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再利用向量所成角的关系式求出直线与平面所成角的正弦值，建立关系式，即可得出的值.

（1）证明：连接，在等腰梯形中，，，为中点，

∴四边形为菱形，∴，

∴，，即，，且，

平面，平面，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）由（1）可知四边形为菱形，∴，

在等腰梯形中，∴正三角形，

∴，同理，

∵，∴，∴．

由（1）可知，，

以为原点，，，分别为轴，轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由题意得，各点坐标为，，，，，

∴，，，

设，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，，得，∴，

设直线与平面所成角为，，

则，即，

化简得：，解得，

∴存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为．