Question

【题目】已知椭圆的离心率，直线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，若直线与椭圆相交于两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在实数使得以为直径的圆过定点.

【解析】试题分析: （1）圆心到切线距离等于半径得，即，再根据离心率，解得，（2）由以为直径的圆过点，得，设坐标转化条件得，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得，，代入条件并化简得.

试题解析:（1）因为直线：与圆相切，

∴，

∴，

∵椭圆的离心率，

∴，

∴，

∴所求椭圆的方程是.

（2）直线代入椭圆方程，消去可得：

∴，∴或，

设，则有，，

若以为直径的圆过点，则，

∵，，

∴

∴

∴，

解得，

所以存在实数使得以为直径的圆过定点.