Question

如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（1）求证：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AC﹣﹣B的一个三角函数值．

Answer 1

（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∵PA平面PAB，
∴PA⊥BC；
又∵PA⊥PB，PB∩BC=B
∴PA⊥平面PBC．
（2）解：作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，
由三垂线定理得PM⊥AC，
∴∠PMO是二面角P﹣AC﹣B的平面角．
设，
∵PA⊥PB，
∴
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，
∴，
∴．