Question

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-

2

3

x3+

1

2

ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．
（1）若函数h（x）=f′（x）-g′（x）是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）是奇函数，且g（x）的极大值是g(

3

3

)，求函数g（x）在区间[-1，m]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，f′(x)＞

1

ex

-

2

ex

+1．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）、g（x）进行求导表示出函数h（x）的解析式，再对函数h（x）进行求导，令导函数大于0求满足条件的a的范围即可得到答案．
（2）先根据g（x）是奇函数求出a=c=0，然后对函数g（x）进行求导，根据在x=

3

3

出取极值可确定b的值，从而得到函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）求导，根据函数g（x）的单调性可解题．
（3）将问题转化为证明f(x)=xlnx＞

x

ex

-

2

e

对x＞0恒成立，对函数f（x）求导，根据函数f（x）的导函数确定f（x）的最小值；同样求出

x

ex

-

2

e

的最大值，二者比较大小可证．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，g'（x）=-2x²+ax-3b，所以h（x）=lnx+2x²-ax+3b+1，
由于h（x）是定义域内的增函数，故h′(x)=

1

x

+4x-a≥0恒成立，
即a≤

1

x

+4x对?x＞0恒成立，又

1

x

+4x≥4（x=2时取等号），故a∈（-∞，4]．
（2）由g（x）是奇函数，则g（x）+g（-x）=0对?x＞0恒成立，从而a=c=0，
所以g(x)=-

2

3

x3-3bx，有g'（x）=-2x²-3b．
由g（x）极大值为g(

3

3

)，即g′(

3

3

)=0，从而b=-

2

9

；
因此g(x)=-

2

3

x3-

2

3

x，即g′(x)=-2x2+

2

3

=-2(x-

3

3

)(x+

3

3

)，
所以函数g（x）在(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)上是减函数，在(-

3

3

，

3

3

)上是增函数．
由g（x）=0，得x=±1或x=0，因此得到：
当-1＜m＜0时，最大值为g（-1）=0；
当0≤m＜

3

3

时，最大值为g(m)=-

2

3

m3+

2

3

m；
当m≥

3

3

时，最大值为g(

3

3

)=

4 3

27

．
（3）问题等价于证明f(x)=xlnx＞

x

ex

-

2

e

对x＞0恒成立；
f'（x）=lnx+1，所以当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1

e

)上单调减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）在(

1

e

，+∞)上单调增；
所以f（x）在（0，+∞）上最小值为-

1

e

（当且仅当x=

1

e

时取得）
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，则m′(x)=

1-x

ex

，得m（x）最大值m(1)=-

1

e

（当且仅当x=1时取得），
又f（x）得最小值与m（x）的最大值不能同时取到，所以结论成立．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．