Question

已知函数f(x)=

a•2x+a2-2

2x-1

（x∈R，x≠0），其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求常数a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，设f（x）的反函数为f^-1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f^-1（x+1）的图象关于y=x对称，求y=g（x）的解析式并求其值域；
（3）对于（2）中的函数y=g（x），不等式g²（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数定义域x∈（-∞，0）∪（0，+∞），再根据奇函数的定义，f（-x）=-f（x）在定义域内为恒等式，以此求出a的值
（2）由反函数解析式求法，求出f^-1（x），再根据函数值求法求出f^-1（x+1），最后再由反函数解析式求法，求出y=g（x）的解析式并求其值域；
 （3）将g²（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2中，两边同除以g（x） 将 t进行分离，转化成t与新生成函数的最值比较．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则f(-x)=

a•2-x+a2-2

2-x-1

=

(a2-2)2x+a

1-2x

=-

a•2x+a2-2

2x-1

（2分）
∴a²-2=a，解此方程可得：a=2或a=-1（3分）
又∵a＜0，∴a=-1（4分）
（2）由（1）知：a=-1，此时f(x)=-

2x+1

2x-1

，
∴2x=

y-1

y+1

，∴f-1(x)=log2

x-1

x+1

（6分）
∴f-1(x+1)=log2

x

x+2

（x＞0或x＜-2）（7分）
此时

x

x+2

=2y可得：x=

2y+1

1-2y

，
∴y=g(x)=

2x+1

1-2x

（9分）
∴g（x）的值域为（-∞，-2）∪（0，+∞）（10分）
（3）原不等式化为t•g（x）＞-g²（x）-2g（x）-2
当g（x）＞0时，t＞-[g(x)+

2

g(x)

]-2（11分）
此时-[g(x)+

2

g(x)

]-2≤-2

2

-2即t＞-2

2

-2（12分）
当g（x）＜-2时，t＜-[g(x)+

2

g(x)

]-2（13分）
∵g(x)+

2

g(x)

在g（x）∈（-∞，-2）单调递增，
∴-[g(x)+

2

g(x)

]-2＞3-2=1即t≤1（15分）
综上所述，实数t的取值范围为(-2

2

-2，1]（16分）

点评：本题是函数与不等式的结合，主要考查了函数奇偶性的定义、反函数求解、等式、不等式恒成立问题．涉及到分离参数，分类讨论，基本不等式、函数单调性求最值等知识和数学思想方法．是高中数学基础知识、基本思想方法的有机融合和良好载体，值得细心解答与品位．