Question

已知函数f（x）=ax³+bx（a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为-6，其导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a，b的值．
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先根据导函数f'（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，求得区间即为单调增区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx，f'（x）=3ax²+b
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线切线斜率为-6，
∴f′（1）=-6，即3a+b=-6 …①
又∵导函数f'（x）的最小值为-12，∴a＞0且b=-12 …②
由①②解出  a=2，b=-12，∴f（x）=2x³-12x                 …（6分）
（2）∵f′（x）=6x²-12=6（x+

2

）（x-

2

）
∴令f′（x）＞0，得x∈（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞）．
∴f函数f（x）的单调递增区间（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．